射影定理推导过程（射影定理公式是什么）

本文目录

• 射影定理公式是什么
• 射影定理的证明过程
• 射影定理的公式是什么
• 射影定理怎么证明要详细过程
• 初中数学中的射影定理是什么怎么证明
• 请问射影定理是什么怎样理解
• 射影定理的验证推导
• 如何证明射影定理
• 射影定理的证明
• 射影定理 推导过程

射影定理公式是什么

射影定理公式如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式推导过程：

①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

射影定理的证明过程

已知:三角形中角A=90度,AD是高.(1)用勾股证射影:因为AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD.故AD^2=BD*CD.运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.综上所述得到射影定理.(2)用射影证勾股:因为AB^2=BD*BC,AC^2=CD*CB,所以AB^2+AC^2=BD*BC+CD*CB=BC(BD+CD)=BC^2. 追问： 画个图呗 谢谢啊麻烦采纳，谢谢!

射影定理的公式是什么

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有

a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA    

这三个式子叫做射影定理。

验证推导过程：

①CD²=AD·BD;

②AC²=AD·AB;

③BC²=BD·AB;

④AC·BC=AB·CD

证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

④∵S△ACB=  

AC×BC=  

AB·CD

∴  AC·BC=  AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

扩展资料：

射影定理证明思路：

因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

射影定理怎么证明要详细过程

射影定理如下：

①CD²=AD·BD

②AC²=AD·AB

③BC²=BD·AB

④AC·BC=AB·CD

验证推导如下

证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

④∵S△ACB=1/2 AC×BC=1/2 AB·CD

∴ 1/2AC·BC= 1/2AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

初中数学中的射影定理是什么怎么证明

所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 　　公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下： 　　（1）(BD)^2=AD·DC， （2）(AB)^2=AD·AC ， （3）(BC)^2=CD·CA 。 　　等积式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明） 　　直角三角形射影定理的证明 射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）　一、 　　在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°， 　　∴∠ABD=∠C， 　　又∵∠BDA=∠BDC=90° 　　∴△BAD∽△CBD 　　∴ AD/BD=BD/CD 　　即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证 　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。 　　有射影定理如下： 　　AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA 　　两式相加得： 　　AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 . 　　即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。 　　二、 　　已知:三角形中角A=90度,AD是高. 　　用勾股证射影 　　∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, 　　∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD. 　　故AD^2=BD×CD. 　　运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 　　△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 　　a=b·cosC+c·cosB， 　　b=c·cosA+a·cosC， 　　c=a·cosB+b·cosA。 　　注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。 　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。 　　证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA 　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。

请问射影定理是什么怎样理解

简单点说  可以用三角形相似来证明

在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD²=AD·DC。其余同理可得可证

有射影定理如下：

AB²=AD·AC，BC²=CD·CA

两式相加得：

AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。

用勾股定理证射影定理

∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,

∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.

故AD²=BD×CD.

运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,

AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

射影定理的验证推导

①CD^2=AD·BD;②AC^2=AD·AB;③BC^2=BD·AB;④AC·BC=AB·CD证明：①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BC^2∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=2AD·BD∴CD^2=AD·BD②∵CD^2=AD·BD(已证)∴CD^2+AD^2=AD·BD+AD^2∴AC^2=AD·(BD+AD)∴AC^2=AD·AB③BC^2=CD^2+BD^2BC^2=AD×BD+BD^2BC^2=(AD+BD)·BDBC^2=AB·BD∴BC^2=AB·BD④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD∴1/2AC×BC=1/2AB×CD∴AC×BC=AB×CD

如何证明射影定理

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。　　公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：　　（1）（AD）^2=BD·DC，　　（2）（AB）^2=BD·BC ，　　（3）（AC）^2=CD·BC 。　　证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。其余类似可证。　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：　　（AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2，　　即 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2。

射影定理的证明

射影定理已知：对于直角三角形,如果用A,B,C表示三角形的顶点,其中A为直角顶点,由A点作斜边BC的垂线交于垂足为D,则有AD^2=BD*CD.证明因为三角形ABD和三角形ADC相似则CD/AD=AD/BD即AD^2=BD*CD画一个图就可以理解了呵呵

射影定理 推导过程

2个小的三角形相似，对应边之比相同→得到一条等式1个小的和1个大的相似，对应边之比相同→得到一条等式如：因为三角形ABD和三角形ADC相似 则CD/AD=AD/BD 即AD^2=BD*CD 画一个图就可以理解了