射影定理证明（如何证明射影定理）

如何证明射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中,BC^2=BD*AB三角形中的射影定理直角三角形射影定理,直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中,直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中,等积式 (4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）折叠直角三角形射影定理所谓射影,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如何证明射影定理

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。　　公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：　　（1）（AD）^2=BD·DC，　　（2）（AB）^2=BD·BC ，　　（3）（AC）^2=CD·BC 。　　证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。其余类似可证。　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：　　（AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2，　　即 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2。

射影定理的证明

射影定理已知：对于直角三角形,如果用A,B,C表示三角形的顶点,其中A为直角顶点,由A点作斜边BC的垂线交于垂足为D,则有AD^2=BD*CD.证明因为三角形ABD和三角形ADC相似则CD/AD=AD/BD即AD^2=BD*CD画一个图就可以理解了呵呵

射影定理怎么证明要详细过程

射影定理如下：

①CD²=AD·BD

②AC²=AD·AB

③BC²=BD·AB

④AC·BC=AB·CD

验证推导如下

证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

④∵S△ACB=1/2 AC×BC=1/2 AB·CD

∴ 1/2AC·BC= 1/2AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

射影定理证明

• 射影定理证明可用勾股定理来证明(如图):

• 射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

  在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

  BD²=AD·CD

  AB²=AC·AD

  BC²=CD·AC

  由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

  此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。可以使用相似进行证明，过程略

  验证推导

  ①CD²=AD·BD;

  ②AC²=AD·AB;

  ③BC²=BD·AB;

  ④AC·BC=AB·CD

  证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

  ∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

  ∴2CD²=AB²-AD²-BD²

  ∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

  ∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

  ∴2CD²=2AD·BD

  ∴CD²=AD·BD

  ②∵CD²=AD·BD(已证)

  ∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

  ∴AC²=AD·(BD+AD)

  ∴AC²=AD·AB

  ③BC²=CD²+BD²

  BC²=AD·BD+BD²

  BC²=(AD+BD)·BD

  BC²=AB·BD

  ∴BC²=AB·BD

  ④∵S△ACB=

   AC×BC=

   AB·CD

  ∴

   AC·BC=

   AB·CD

  ∴AC·BC=AB·CD

射影定理的证明过程

已知:三角形中角A=90度,AD是高.(1)用勾股证射影:因为AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD.故AD^2=BD*CD.运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.综上所述得到射影定理.(2)用射影证勾股:因为AB^2=BD*BC,AC^2=CD*CB,所以AB^2+AC^2=BD*BC+CD*CB=BC(BD+CD)=BC^2. 追问： 画个图呗 谢谢啊麻烦采纳，谢谢!

初中数学中的射影定理是什么怎么证明

所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 　　公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下： 　　（1）(BD)^2=AD·DC， （2）(AB)^2=AD·AC ， （3）(BC)^2=CD·CA 。 　　等积式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明） 　　直角三角形射影定理的证明 射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）　一、 　　在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°， 　　∴∠ABD=∠C， 　　又∵∠BDA=∠BDC=90° 　　∴△BAD∽△CBD 　　∴ AD/BD=BD/CD 　　即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证 　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。 　　有射影定理如下： 　　AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA 　　两式相加得： 　　AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 . 　　即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。 　　二、 　　已知:三角形中角A=90度,AD是高. 　　用勾股证射影 　　∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, 　　∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD. 　　故AD^2=BD×CD. 　　运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 　　△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 　　a=b·cosC+c·cosB， 　　b=c·cosA+a·cosC， 　　c=a·cosB+b·cosA。 　　注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。 　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。 　　证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA 　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。

射影定理怎么证明

射影定理所谓射影，就是正投影。 其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。 由三角形相似的性质可得： 定理 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式：对于直角▲abc,《c=90,cd是高，射影定理，BC^2=BD*AB

三角形中的射影定理

直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理的内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ， ③AC²=AD·AB ； ④AC·BC=AB·CD（等积式，可用面积来证明）

AC*BC=2 S ABC

CD*AB=2 S ABC

AC*BC=AB*CD

概述

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。等积式 (4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）

折叠直角三角形射影定理

所谓射影，就是灯光投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

射影定理

折叠证明

解：

在△BAD与△ACD中，

∵∠ABD+∠BAD=90°，且∠CAD+∠C=90°，                                                            

射影定理简图

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即 BD²=AD·DC

其余同理可得可证

射影定理

折叠内容

AB²=AD·AC，BC²=CD·CA

两式相加得：

AB²+BC²=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC² （即勾股定理）。　

注： AB²的意思是AB的2次方。

证明

已知:三角形中角A=90度,AD是高.

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB   同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.   同理可证其余。

折叠任意三角形

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cosC+c·cosB，

b=c·cosA+a·cosC，

c=a·cosB+b·cosA。

注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。